Técnicas elementales de conteo. parte 1

permutaciones

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 2X2

Para hablar de un sistema de ecuaciones lineales 2X2, comencemos por definirlo de forma sencilla. 

Un sistema de ecuaciones lineales, es el conjunto de dos ecuaciones lineales constituído por dos incógnitas.

Te muestro algunos ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales.

Al intentar resolver un sistema de ecuaciones lineales recurrimos a diversos métodos de resolución entre los cuales tan sólo estudiaremos a los tres siguientes:

Métodos 

1.- Método Gráfico

2.- Método de Suma y Resta (combinación lineal)

3.- Método de sustitución

MÉTODO GRÁFICO

Éste es un método que puede trabajarse en dos versiones; una corta y otra extensa. Ambas versiones requieren como principal instrumento al plano cartesiano.

DIBUJO A

Es a través del plano cartesiano, donde  ubicamos los pares de coordenadas cartesianas de cada una de las ecuaciones.

Unimos usando una regla los puntos para trazar la trayectoria de las rectas que componen el sistema. 

Te sugiero utilices dos colores en el trazo de las rectas para diferenciar una recta de otra, tal y como se muestra en el dibujo A.

De ésta manera visulamente podemos detectar el comportamiento de ellas y establecer si las rectas:

a) Se cortan en un punto (Sistema Consistente)

b) No se cruzan  en ningún punto (Sistema Inconsistente)

c) Se intersecan en todos sus puntos (Sistema equivalente)

Para que te sea posible aprendar el método gráfico con mayor facilidad, te invito a ver los siguientes videos en donde hablaremos del plano cartesiano y como aplicar el método en sus dos versiones. 

Cuando hayas visto los videos tienes la libertad para elegir la versión que más te convenga.

Video: Plano Cartesiano

Video: Método gráfico versión extensa

Video: Metodo gráfico versión corta

ACTIVIDAD 1: CONOCIENDO EL PLANO CARTESIANO

ACTIVIDAD 1: METODO DE SUMA Y RESTA

MÉTODO DE SUMA Y RESTA

A éste método también se le conoce con el nombre de combinación lineal.

El procedimiento utiliza la eliminación de una variable de tal forma que al sumar por columnas el sistema quede reducido a una sola ecuación con una variable.

Para que aprendas el mecanismo de una manera fácil te suguiero que veas cada uno de los videos siguientes, en donde con ejercicios variados te explico paso a paso la resolución.

Video 1: Casos sencillos resueltos por suma y resta.

Video 2: Casos con alguna transformación usando metodo de suma y resta

Video 3: Casos con varias transformaciones aplicando el método de suma y resta.

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

Cuando resolvemos un sistema de ecuaciones lineales por el método de sustitución, necesitamos elegir una de las ecuaciones y despejar una de sus incógnitas. Con esa ecuación despejada ( ecuación de la nubecita) se sutituye en la otra ecuación para encontrar el primer valor de la variable. 

Una vez detectado ese valor se sutituye en la ecuación que despejamos originalmente (ecuación de la nubecita)  para encontrar el último resultado correspondiente a la otra incógnita.

 Si más detalle, te animo a ver los siguientes videos para que adquieras la habilidad necesaria en la aplicación del método y enciendas la llama de tu conocimiento.

 Video 1: Método de sustitución parte 1

 Video 2: Método de sustitución parte 2

Video 2: Método de sustitución con ejemplos más elaborados

Una vez que ya apredendimos a resolver sistemas de ecuaciones a través de tres métodos diferentes, vamos a utilizar éstos conocimientos para aplicarlos en la resolución de modelos matemáticos. 

Te invito a que juntos veamos como resolver algunos de los modelos matemáticos, así que dale clik a los videos que te llamen más la atención.

ECUACIONES LINEALES

 En este apartado vamos a estudiar las ecuaciones lineales.

Tenemos que definir a que se le denomina: "Ecuación".  

Me gusta comparar la definición de una ecuación con unas pesas de gimnasio; en donde el signo de igual es la barra que sujetas y las pesas son las expresiones algebraicas que se igualan. 

Estas expresiones contienen una variable  (incógnita)

 cuyo valor desconocemos. 

Nuestro objetivo con la ecuación, es poder encontrar el  valor  que tiene la variable a través de un proceso que llamamos: 

"Despeje de la incógnita".

Cuando hallamos el valor numérico,  decimos que hemos encontrado la solución o raíz de la ecuación, es decir encontramos el número que hace verdadera la ecuación. Algunos autores también le llaman: "conjunto solución".

Te invito a resolver la dinámica siguiente para reforzar los conceptos.

Es importante que sepas que al resolver una ecuación puedes obtener tres posibles respuestas:

1) La primera y la más común es que obtengamos un valor numérico único que hace cierta la igual; es decir que al sustituir ese valor en la ecuación obtenemos una identidad. 

Entonces decimos que la ECUACIÓN  ES CONDICIONAL  observa la imagen.

video 1 ; Ecuaciones lineales simples

2) Otra posibilidad es cuando al despejar la variable, ésta desaparece (SE ELIMINA) y nos queda siempre  0 = 0. 

Entonces decimos que la variable acepta infinitas respuestas, es decir, puede tomar cualquier valor numérico para ser verdadera la ecuación y decimos que:  

LA ECUACIÓN TIENE INFINITAS SOLUCIONES. 

Observa el ejemplo que muestra como son estos casos

C) Finalmente puede suceder que al despejar la variable,  ésta desaparece sólo que al final nos queda una desigualdad como por ejemplo 0 ≠ 12

video 2: Ecuaciones lineales con transformaciones

Entonces la ecuación "NO TIENE SOLUCIÓN", quiere decir que no hay ningún valor numérico que haga verdadera la ecuación, observa la imagen siguiente.

Video 3: Ecuaciones lineales mas complejas

Empecemos a aprender el proceso para despejar una ecuación y encontrar la solución. Y de acuerdo a su resultado determinar si la ecuación es del tipo: 

a) Condicional

b) Infinitas soluciones

c)  No hay solución.

Para ello te invito a ver todos los vídeos ya que el tema es extenso y te daré una amplia gama de ejemplos con distintos grados de complejidad.

video 4: Ecuaciones lineales con fracciones

Aqui te dejo la actividad para que practiques las ecuaciones lineales con distintos grados de complejidad y adquieras la habilidad necesaria.

Actividad 1

ECUACIONES LINEALES

Actividad 2

ECUACIONES FRACCIONALES

ECUACIONES LITERALES

El proceso con el que despejamos una variable en la ecuación lineal, es el mismo que se utiliza cuando se hace el despeje de una ecuación literal

(fórmulas), en una ecuación literal pueden aparecer dos o más variables.

Este tipo de ecuaciones son muy utilizadas en la materia de fisicia, química y en otros temas de matemáticas como; áreas, volumenes, perimetros, etc.

Te pongo un video de como se efectúa el proceso cuando despejamos diversas fórmulas.

Video 5: Ecuaciones literales ( fórmulas)

Desarrolla tu habilidad en el despeje de fórmulas resolviendo la siguiente práctica

ACTIVIDAD 3

ECUACIONES LITERALES

MODELOS MATEMÁTICOS

La utilidad de haber aprendido a resolver ecuaciones lineales es que ellas te van a permitir resolver modelos matemáticos aplicados a la vida cotidiana. 

Te darás cuenta que serás capaz de establecer una expresión algebraica con la información proporcionada y después hacer con ella una ecucacion nos permetirá resolver el modelo y contesar una serie de preguntas derivadas del contexto.

 

Para que puedas abordar este tipo de ejercicios te colocaré  videos con distintos casos de modelos matemáticos para que veas el paso a paso y así enfrentar el desafio de resolver los ejercicios aplicativos sin temor ¡Vale tu puedes!.

Video 6: Caso UBER

Video 7; La captura de Officce

FRACCIONES ALGEBRAICAS RACIONALES

 Hablemos ahora de las fracciones algebraicas racionales;  con ellas vamos a realizar una serie de operaciones que van  desde la evaluación a la simplificación. Así como las cuatro operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división.

Por lo que primero te pondré algunos ejemplos de fracciones racionales para que las empieces a conocer e identificar.

Comencemos por aprender el proceso de "evaluar" una
expresión algebraica racional. 

Voy a enseñarte como se realiza la evaluación; vamos a sustituir (remplazar) el valor de la variable por una constante ( coeficiente numérico). Te invito a ver el  vídeo donde haremos algunos ejercicios en los que evaluaremos la expresion con distintos valores numéricos.

VÍDEO 1. Evaluando fracciones algebraicas sencillas

Llegó el momento de practicar el tema para que sepas si

DESCARGA 

aprendiste la forma en que se evalúa una fracción algebraica racional, descarga la actividad. 

ACTIVIDAD 1

EVALUANDO EXPRESIONES ALGEBRAICAS

El siguiente proceso que estudiaremos es el de: "simplificar una expresión algebraica racional".

Muestro una imagen con las dos herramientas que vamos a utilizar ¡ toma nota !

 

Veamos en acción el proceso de SIMPLIFICACIÓN.

Disponte a ver cada uno de los siguientes vídeos, no te pierdas ninguno, pues tienen distintos grados de dificultad y te ayudarán a realizar la tarea.

VÍDEO 1: Simplificaciones sencillas

VÍDEO 2; Simplificaciones con mayor grado de dificultad

 

VIDEO 3: Simplifiaciones mas complejas

DESCARGA LA ACTIVIDAD 2 PARA QUE

 DESARROLLES TU HABILIDAD

SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Con las fracciones algebraicas racionales se realizan las  operaciones básicas: suma, resta, multiplicación, división, combinacion de operaciones. Mostremos algunos ejemplos de las operaciones para que vayas reconociendalas.

 

Iniciemos con la que considero la más fácil de aprender y con la que te permite adquirir las herramientas del conocimiento necesarias para ésta operación estoy hablando de la: 

" Multiplicación ". 

Si miras con atención los videos aprenderás el proceso de la multiplicación, te explico paso a paso cada uno de los ejercicios y te doy algunos tips para facilitarte la factorización. 

No te pierdas ninguno de ellos.

VIDEO 1. Multiplicación de fracciones

 algebraicas sencillas.

VIDEO 2 . Multiplicaciones de fracciones

 más complejas

 El proceso requiere del dominio de la factorización y la ley de cancelación, utiliza tus conocimientos para realizar la actividad. ¡ Ánimo, tu puedes hacerlo!

ACTIVIDAD 3

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

Vayamos a la segunda operación: " La división de fracciones algebraicas racionales".  Explico en los videos cómo debes hacer los procesos de una manera más ágil, la cual te permita tener claro la forma de resolverlos sin confunir los procedimientos con otra operación.

VIDEO 1: División de fracciones algebraicas sencillas

VIDEO 2: División de fracciones algebraicas con ejercicios

de mayor dificultad

Es el momento de efectuar la ejercitación, asi que descarga la actividad y con toda la buena actitud demuestra que ya dominas este conocimiento.

ACTIVIDAD 4

DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

VIDEO: MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN 

DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

ACTIVIDAD 5

COMBINACIÓN DE MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

BUSCA DENOMINADORES IGUALES

La operación que vamos a estudiar ahora la voy a separa en dos secciones. En la primera te mostraré como se resuleven aquellas operaciones de "Suma y Resta con el mismo denominador", ya que su procedimiento es más simple. 

Disfruta  los videos en los que voy a explicar todo el proceso de manera clara y sencilla.

VIDEO 1: Sumas y restas con denominadores iguales sencillas

VIDEO 2: Sumas y restas con denominador igual

 con mayor grado de dificultad

VIDEO 3: Sumas y restas con

 denominadores iguales mas elaborados

Ahora descarga la actividad para que practiques el tema

Actividad 6

SUMAS Y RESTAS CON DENOMINADORES IGUALES

Toca el turno de realizar las explicaciones para las operaciones de "suma y resta con denominadores diferentes en fracciones algebraicas racionales". 

TOMATE TU TIEMPO PARA APRENDER

Para que comprendas facilmente como se hace el proceso y aprendas el manejo de los pasos, observa con mucha atención los videos que he hecho para tí. Cada uno tiene diferentes grados de dificultad por lo que te suguiero trabajes conmigo al mismo tiempo ya que tendras que resolver ejercicios similares.

Video: Sumas y restas con denominadores diferentes parte 1

VIDEO: Sumas y restas con denominadores diferentes con mayor grado de dificultad parte 2

Video: Sumas y restas con denominadores diferentes con mayor grado de dificultad parte 3

Ahora desarrolla la práctica del tema descarga la actividad.

ACTIVIDAD 7

Sumas y restas con denominadores diferentes

 

CAPÍTULO 2: FACTORIZACIÓN Y PRODUCTOS NOTABLES

PRODUCTOS NOTABLES

Las reglas serán tus llaves indispensables
para resolver cualquier producto notable

En este apartado vamos a estudiar a los famosos: "Productos Notables".

Son llamados así, porque son casos especiales de multiplicación, en donde se pueden resolver de una manera más rápida utilizando ciertas reglas adecuadas para cada uno de los casos.


Para que tengas una visualizacion de todo el capitulo te muestro un mapa conceptual que enlaza todo el contenido.

Veamos el siguiente vídeo que nos introduce al tema

INTRODUCCIÓN 

Los productos notables están íntimamente relacionados con el proceso de la "Factorización", ya que el resultado de cualquier producto notable es una factorización. 

En otras palabras, éstos casos vienen a ser procesos inversos. 
Como vayamos estudiando cada uno de los casos los iré relacionando con la factorización que le corresponda a fin de que te pueda quedar claro cada uno de los procesos así como las reglas que se utilizan para cada uno.

BINOMIOS CONJUGADOS

Los binomios conjugados son el primer caso que vamos a estudiar. 

Te daré algunos ejemplos que pertenecen a está categoría a fin de que los vayas conociendo. 

Para que sepas como resolverlos, identificarlos y aprender el proceso de resolución vamos directo al video donde con ejercicios variados observaras todo claramente y podrás obtener la habilidad necesaria.

VIDEO: BINOMIOS CONJUGADOS EJEMPLOS

Te toca ahora  a ti,  realizar la práctica para que aprendas la regla explicada en el video, descarga la actividad dando click en el título.

ACTIVIDAD 1
BINOMIOS CONJUGADOS

BINOMIOS AL CUADRADO

El caso referente a Binomios al Cuadrado es de los más sencillos para trabajar. 

Te muestro una imagen que ilustra ejemplos claros de éste producto notable para que los comiences a distinguir de los otros.

Te invito a que le des click al video siguiente, para que aprendas como se realizan los procesos de binomios al cuadrado y practiques la regla al mismo tiempo conmigo durante la exposición. 

¡Tu libreta lista comencemos!

VIDEO: BINOMIOS AL CUADRADO

Descarga la actividad para que realices la ejercitación del proceso y domines el conocimiento.

ACTIVIDAD 2
BINOMIO AL CUADRADO

BINOMIOS CON TÉRMINO SEMEJANTE

En éstos casos podrás distinguir que los binomios tienen términos que son semejantes, te muestro una imagen con ejercicios que pertenecen a esta categoría para que los identifiques y distingas de los demás productos notables.

Para que se te facilte el proceso con el cual resolvemos éstos productos notables, te invito a ver el siguiente vídeo. En él estan las explicaciones detalladas paso a paso con variados ejemplos.

Video: Binomios con términos semejantes

Comienza a realizar la párctica del tema, descarga la actividad y desarrolla tu habilidad.

ACTIVIDAD 3
BINOMIO CON TERMINO SEMEJANTE

BINOMIOS AL CUBO

Este es el último caso de producto notable que vamos a estudiar. 

Para que los puedas reconocer te agrego ésta imagen con ejemplos que pertenecen a ésta categoría.

 Recuerda que es muy importante que sepas distinguir cada uno de los casos, así como la regla que utilizarás en ellos para encontrar su solución. 

Entonces con toda la buena actitud veamos el siguiente vídeo en el que te explico a detalle cómo debes aplicar la regla para encontrar su solución.

VIDEO: BINOMIO AL CUBO

Descarga la actividad para que efectúes la páctica que contiene ejercicios con binomios al cubo. 

¡ ÁNIMO, sigues avanzando !

ACTIVIDAD 4
BINOMIO AL CUBO

Memoriza las reglas

Ahora que ya aprendiste todos los tipos de productos notables vamos a utilizar ese conocimiento para resolver "Modelos Matemáticos" que involucran éstos procesos. Da click a video.

VIDEO 1

Los Manteles de la boda, 

aplicación de binomios al cuadrado

VIDEO 2: El salón de sumba, 

aplicación de binomios con termino semejante

VIDEO 3: El contenedor de agua,

 aplicacion de binomio al cubo

Video 4: La Biblioteca, aplicación de binomios conjugados

Vamos a la práctica, descarga la actividad para verificar tus aprendizajes

ACTIVIDAD 5

MODELOS MATEMATICOS QUE INVOLUCRAN PRODUCTOS NOTABLES

FACTORIZACIÓN

Cuando obtenemos el resultado de un producto notable se puede efectuar el proceso contrario  que es conocido como: "Factorización".   

Es decir,  factorizar  consiste en buscar los factores que originaron un producto determinado.

GUARDA EN TU MEMORIA LOS ALGORITMOS
PARA FACTORIZAR

Para factorizar necesitarás aprender una serie de pasos

 (algoritmo) que se explican detalladamente en cada uno de los videos. Recuerda que entre más practiques, podrás almacenar en tu memoria la información e irás adquiriendo la competencia.

Los casos de factorización que vamos a estudiar están integrados en la siguiente imagen.

FACTOR COMÚN

TODOS TENEMOS ALGO EN COMÚN

Para factorizar un polinomio con "Factor Común" debes encontrar el MCD, de todos los coeficientes en cada término del polinomio y para las variables; debes seleccionar aquellas que sean comunes con el menor exponente. 

Al resultado que se obtiene cuando se factoriza éste tipo de expresión se le llama : Monomio común por un polinomio especial. 

Aquí te enseño algunos ejemplos que pertenecen a este tipo de factorización.

Te recomiendo ver directamente el vídeo para que se te facilite aprender el procedimiento mediante el cual se realiza la factorización de éste caso, así que da click a la presentación.

Video: Factorización de polinomio con factor común

PARTE 1

Video; Factorización de polinomio de factor común

Parte 2

La imagen inferior tiene escritos los tres pasos que usamos para factorizar un polinomio con factor común, anótalos en tu libreta para que los tengas siempre al alcance de tu mano cuando realices este tipo de factorización.

¡Ahora recuerda! para aprender tienes

que practicar, por lo que descarga la actividad y desarrolla tu habilidad.

No olvides escribirme tus comentarios, ésto enriquece el trabajo.

ACTIVIDAD 1

POLINOMIO DE FACTOR COMÚN

DIFERENCIA DE CUADRADOS

MUCHO OJO

Para realizar la factorización de una "Diferencia de Cuadrados" es necesario que los distingas de entre los demás tipos.

En la imagen te voy a poner algunos ejemplos de éste caso, para que los observes detenidamente y puedas darte cuenta cuáles son las caracteristicas que los indentifica. ¡Analízalos!

Para facilitar tu aprednizaje observa y trabaja con los ejercicios que se van explicando en el vídeo, así se te va a ser más sencillo aprender el proceso. 

Al resultado que se obtiene de una Diferencia de Cuadrados se le llama: BINOMIOS CONJUGADOS. 

Video: Diferencia de cuadrados

Para que complementes tus apuntes te muestro una imagen con los tres pasos escenciales para factorizar una Diferencia de cuadrados, tal como lo mostré en el video.

¡Estás listo! ahora me gustaría que practiques con la actividad que diseñe para tu aprendizaje descárgala.

ACTIVIDAD 2

DIFERENCIA DE CUADRADOS

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

La factorización de un "Trinomio Cuadrado Perfecto" es uno de casos que puedes resolver con distintos procesos. Aquí te voy a explicar la más utilizada.

Te voy a poner variados ejemplos que pertenecen a ésta categoría, para que los observes y analices. 

Ojalá puedas deducir sus características.

Cuando factorizas un Trinomio Cuadrado Perfecto se obtiene como respuesta un: binomio al cuadrado

Sin más palabras vayamos a la acción da click al video donde verás como se efectúa la factorización de éstos casos de una forma simple.

VIDEO : factorización de trinomio cuadrado perfecto

Que te parece si ahora demuestras tu conocimiento resolviendo los ejercicios de la práctica siguiente.

ACTIVIDAD 3

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Trinomio de Segundo Grado

Para resolver los casos de: "Trinomio general de segundo grado" puedes utilizar diversas técnicas para resolverla; es posible que veas videos con explicaciones distintas y

diferentes. Todas son validas, lo fundamental es que encuentres una con la que te sientas cómodo y logres dominar el proceso.Te voy a enseñar una técnica que podrá resolver no sólo éstos casos sin también el caso anterior. Particularmente me gusta mucho esta técnica espero que la aprendas con facilidad y no se te olvide nunca. ¡Lo sé por experiencia!

La técnica se llama: "Técnica del gato"

Antes de ver los videos te presento una ilustración con ejemplos que pertenecen a este tipo de factorización para que puedas distinguirlos.

Al resultado que se obtiene de factorizar un Trinomio General de Segundo Grado se le llama: "Binomios con término Semejante"

Observa con atención cada uno de los videos ya que ellos muestran ejercicios con diferentes grados de dificultado, por ende no te vaya a perder ninguno de ellos.

Video 1; Trinomio general de segundo grado

Bueno yo pienso que estas ansioso por comenzar tu práctica, así que descarga a tu computadora los ejercicios de la actividad.

ACTIVIDAD 4

TRINOMIO GENERAL DE SEGUNDO GRADO

SUMA O DIFERENCIA DE DOS CUBOS

En este tipo de factorización el proceso es un poco laborioso, sin embargo una vez que aprendes el mecanismo se te facilitará su resolución de manera más rápida. Ya conoces la clave, resolver una cantidad suficiente de ejercicios para apropiarte del conocimiento.

Te expongo una imagen que contiene algunos ejercicios de ésta factorización para que tengas una idea de ellos y si te es posible trata de encontrar sus caracteristicas distintivas.

Cuando hemos realizado la factorización de una suma o diferencia de dos cubos la respuesta que obtenemos es: Un binomio por un trinomio especiales.

Como otras veces te invito a ver el video con las explicaciones necesarias para tu aprendizaje.

VIDEO: SUMA O DIFERENCIA DE DOS CUBOS

Descarga la practica con los ejercicios del tema.

ACTIVIDAD 5

SUMA O DIFERENCIA DE DOS CUBOS

AGRUPAMIENTO

El último caso que estudiaremos es el de: "Agrupamiento". 

Te muestro una imagen con ejemplos de este tipo de factorización.

Aquí se pueden aplicar diversos casos de factorización, hemos estudiado en los videos anteriores los tipos mas comunes, así que vamos directo a la explicación grabada para que aprendas la forma en que se realiza el proceso. 

VIDEO 1: AGRUPAMIENTO PARTE 1, 

Los más sencillos

VIDEO 2: AGRUPAMIENTO PARTE 2,

 Subimos el grado de difucultad.

VIDEO 3. AGRUPAMIENTO PARTE 3. 

Aplicando más de tres tipos de factorización.

Es momento de aplicar tus conocimientos descarga la actividad para que domines el proceso

ACTIVIDAD 6

AGRUPAMIENTO

Una vez que haz aprendido a resolver cualquier tipo de factorización podrás aplicar esos conocimientos en modelos matemáticos . trata de resolver la actividad siguiente antes de ver los videos con algunos ejemplos de la vida real.

ACTIVIDAD 7

MODELOS DE APLICACIÓN CON FACTORIZACIÓN

Para finalizar te dejo una autoevaluación de todo el capítulo y asi puedas medir su aprendizaje.

EXAMEN DE REPASO